alexkenon, здравствуйте и добро пожаловать на форум!
В антивирусе аваст нет функции родительского контроля. Единственное, что Вы можете сделать-это самостоятельно заблокировать сайты в настройках веб-экрана. Для блокировки баннеров на сайтах Вы можете воспользоваться расширением для браузера Adblock plus.