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無料版Avast のユーザー登録と、その更新のことでしょうか？

ライセンス期限切れの場合、自動で延長してくれる場合もあるようですが、無効ですの表示が出ていたのだとすれば、完全に動作は停止していたと推測されます。
なお、スリープから復帰した直後に無効化されたというのは、スリープ中に期限が切れ、復帰時にライセンスの有効確認が実行されて期限切れ → 無効、となったものと考えられます。
期限切れになると警告ウィンドウが出ると思うのですが、出なかったのでしょうか？

YouTube が安全かどうかという点で言うと、YouTube のサーバーそのものは安全でも、そこから呼び出している外部広告サービスにマルウェアがいる場合はあります。

無効状態でずっと使っていたならまだしも、状況から見て、個人的にはフルスキャンまでする必要性は感じません。クイックスキャン程度で十分でしょう。
ただ、フルスキャンで安心できるということであれば、当然フルスキャンの方が精度は高いので、そこはお任せします。

ちなみにフルスキャンには、マルウェアを検知するという目的のほかにも、「永続的なキャッシュ」を作成して以降のスキャンを多少高速化するという効果もあるので、過去に1度も実行したことがないのであれば、1度実行しておくことをお勧めします。