こんばんは オオエド9000 さん

上手くいくかは分かりませんが、Androidデバイスには「セーフモード」と呼ばれる機能があります。こちらで起動すれば、avast!を一度アンインストール、あるいは端末を初期化できるかもしれません。
お使いの機種はおそらくNexus7だと思いますが、その場合のセーフモード起動手順は以下のURLで解説されています。

再起動してセーフモードに変更する
https://support.google.com/nexus/answer/2852139?hl=ja

なお、avast!は2つのアプリが同時にインストールされている場合があります。一つはavast! Mobile Security (アバスト!無料モバイルセキュリティ)、もう1つは盗難対策機能で、何ということのない英語名の何か(環境ごとに違いますのでここではわかりません。例としては「Update Agent」など)です。
両方をアンインストールしないとPINコードがリセットされません。アンインストールを試される場合はこの点にご注意ください。

それから、オオエド9000 さんのメールアドレスがフォーラムユーザーに公開される設定になっているようです。

  1. 右上の"プロフィール"をクリック
  2. 左側の"Account Settings"を開く
  3. "Allow users to email me"のチェックを外す
  4. 一番下の"パスワード:"欄にパスワードを入れる(上の方にある"パスワード"ではありません)
  5. 一番下の"プロフィール変更"を押す
    の手順で、メールアドレス非表示の設定を行われることをお勧めします。