Hola sansori. Bienvenido al foro.

Aunque no uso Avast! Mobile Security ni Google Drive no me gusta dejar los topicos sin contestar para que los usuarios con problemas, asi no sea de avast! propiamente dicho, no se sientan solos. Tu sabes que esto es un problema de autenticacion de Google Drive y no de avast!.

El unico topico exacto al tuyo en ingles no tuvo contestacion:
http://forum.avast.com/index.php?topic=140842.msg1025530#msg1025530

Este topico en ingles tambien tiene algo que ver con la configuracion no valida de Google Drive donde reinhardholzner, moderador del foro de avast! Mobile Security, explica que hay que deshabilitar tu cuenta web ( despues que deshabilites todas tus backups ) y reconfigurarla nuevamente sea en tu cuenta web o cell.
http://forum.avast.com/index.php?topic=135467.msg992995#msg992995

Tambien encontre esto a ver si te sirve:
https://developers.google.com/drive/training/drive-apps/auth/about?hl=es

Algo parecido al tuyo en el foro de frances tiene una contestacion, pero no se que tan exacta sea. Usa Google translate y ve si te sirve: http://forum.avast.com/index.php?topic=138935.msg1014868#msg1014868

Suerte.