こんばんは esubi さん
一度、ZoneAlarm上のavast関連のエントリをすべて削除した上で、avast関連プロセスを全許可しなおしてみてください。 アップデートによってAvastSvc.exeが変更されたためにZoneAlarmによってブロックされると、ウェブシールド・メールシールド経由の接続が不可になります。
直らない場合は、一度avastをインストールし直すしかないかと思います。